发明自行车的背后——啥？还有数学？
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当人想要模仿行走时，他创造了与腿并不相象的轮子。
——（法国）阿波利奈尔
撰文 | 蔡天新（浙江大学数学学院教授）
责编 | 陈晓雪
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自行车的发明，让乡村小伙子们能够去遥远的村庄寻找自己心仪的女孩子。我所认识的已故美国作家戈尔·维达尔认定，自行车的发明使得世界人口有了少许的增长。对此我是这样理解的，有了自行车以后，在当时人口主要集居地的农村，青年人择偶范围的半径扩大了两三倍，面积则扩大了近十倍，结婚率和生育率因此有了相应提高。
在自行车发明之前，人类早已发明了使用轮子的手拉车。大约于公元前1500-前900年形成的印度医学典籍《梨俱吠陀》（Rigveda）里，就有这样的诗句：
男人与女人相互平等
一如手拉车的两个轮子
这部典籍是印度医学之源，属于世界上最古老的宗教——吠陀教的经典《吠陀》。全书用诗的语言写成，“吠陀”的本义是知识，“梨俱”是作品中诗节的名称。
►印度南方的四轮手推车。作者摄于班加罗尔。
直到19世纪60年代，为躲避宗教迫害，从东海岸的纽约移民到西部犹太州盐湖城的摩门教徒们，在首领杨百翰带领下，仍使用手拉车完成迁移。如今，以杨百翰命名的大学是美国最大的教会大学、历史第三悠久的私立大学，拥有一个频繁国际演出的歌舞团。
手拉车或手推车通常分为独轮、两轮、三轮和四轮四种。虽说多轮的运货车大约在五千年前已经出现，独轮车的发明却要迟许多。一般认为，独轮车是由古希腊人发明的，可是证据少得可怜，仅仅有两张发现于阿提卡半岛的古代建筑物资清单，这两份清单开列于公元前408年至前406年间，出现了monokyklou、dikyklos和tetrakyklos字样，后两者分别意为“双轮车”和“四轮车”，而mono有单一之意，加上非复数后缀。因此，monokyklou被解释为独轮车是合理的。但实际上，在整个古典希腊时期，都没有使用独轮车的其他文字、图像或实物留存下来。
除了希腊，中国也被认为是最早发明独轮车的国家。独轮车在四川和山东发掘的汉墓壁画及浮雕中已有出现，而按文字记载，独轮车的概念来自三国时期的蜀国丞相诸葛亮（181-234）。陈寿的《三国志》（280）里就有记载“木牛流马，皆出其意”，后人考证，木牛流马很可能就是独轮车。到了宋代，高承所撰《事物纪原》也将独轮车的发明归功于诸葛亮。
更早一些时候，在主要取材于西汉经学家刘向（前77-前6）所著《孝子传》的《二十四孝》一书中，有自幼丧母的董永用“鹿车”载父的故事。“鹿车载自随。”鹿车，很多人也认为是独轮车的别称。董永后来卖身葬父，成为孝子的模范，他的故乡湖北孝感因此得名，那儿还有“董永与七仙女”的爱情故事和“一日夫妻百日恩”的俗语流传。
在范晔的《后汉书》（445）里，也有两则与鹿车有关的故事。
其一是成语“共挽鹿车”。大夫鲍宣（前30-3）的新娘少君出自有钱人家，嫁妆丰厚，但鲍宣拒绝接受。于是少君把华丽的服饰全部收藏起来，改穿简朴衣裳，与鲍宣一起推着鹿车，到了鲍宣家。拜见婆母后，就提着水瓮去汲水，奉行做媳妇的礼节，获得乡亲称赞。
其二发生在公元23年。赤眉起义爆发，杀死西汉最后一个皇帝刘玄，大臣赵憙也被赤眉军包围，只得从房上逃走。同行的有好友韩仲伯，韩因妻子长相漂亮，担心贼兵强暴她，自己也会跟着受害，于是要把她丢下。赵憙责骂他，用泥涂在韩妻脸上，把她装上鹿车，亲自推行。每遇贼兵，赵憙就说她病重，得以免受污辱并逃脱。
1866年清朝首次派出出洋考察团，19岁的（辽宁）铁岭少年张德彝随行。回国后他在游记《航海述奇》里用了“自行车”一词，这是自行车一词在汉语里的首次出现。除了自行车，电报、螺丝等也是张德彝翻译的，他还首次引进了标点符号，介绍了蒸汽机、升降机、缝纫机、收割机、管道煤气、巧克力，等等。
1790年的一天，一位叫西夫拉克的法国青年，行走在巴黎的一条小街上。因为头一天下过雨，路上有许多积水。忽然，一辆四轮马车从身后疾驰而来，西夫拉克躲闪不及，被溅了一身泥水。路人看见，替西夫拉克不平，想喊那辆马车停下，他却摆摆手。马车走远了，西夫拉克仍待在路边，他寻思着：为何不让马车瘦身呢？可否不要马拉？可否把四个车轮变成两个车轮？不是早期手拉车或马车那样并排的两个轮子，而是前后各一个。他这样想着，回家就动手开始设计。
此时，离开马车（还有牛车、驴车）诞生已过了四千多年。大约在公元前2000年，黑海附近大草原的部落骑马来到底格里斯和幼发拉底之间的两河流域，开始用马来拉有轮子的车。这些马车不仅拉货运物，也载人。之后，马车就成为世界各国主要的交通和运输工具。
经过反复试验，第二年，即莫扎特去世的那年，西夫拉克设计出了第一架代步的不需借助外力的车子。它是木制的，没有驱动和转向装置，骑车人靠双脚用力蹬地前行，改变方向时必须下车移动。即使这样，当西夫拉克骑着这辆自行车到公园兜风时，看见的人也都颇为惊异和赞叹。1817年，德国人德莱斯给自行车装上了车把，可以控制方向，翌年在巴黎作了第一次展示。实用则要到1861年，法国人米肖父子在前轮装上曲柄，不用踩地，用脚驱动就可以带动车轮前进。第二年，他们制造了140多辆，第五年产量达到了400辆。1874年，英国人劳森为自行车装上链条；1888年，爱尔兰兽医邓洛普发明了充气轮胎。
►小米肖的自行车（1868年）
至于张德彝在游记中所描述的在伦敦街头见到的自行车，应该还没有链条和充气轮胎。“前后各一轮，一大一小，大者二尺，小者尺半，上坐一人，弦上轮转，足动首摇，其手自按机轴，而前推后曳，左右顾视，趣甚。”
其实，制造出第一辆自行车的是一位中国人，那还是在西夫拉克之前一个世纪的清朝康熙年间，发明者是扬州人黄履庄（1656-？）。据《清朝野史大观》（1915）记载：“黄履庄所制双轮小车一辆，长三尺余，可坐一人，不须推挽，能自行。行时，以手挽轴旁曲拐，则复行如初，随住随挽日足行八十里。”
黄履庄的表兄弟为他写的小传里也提到此事，那年他还不到28岁。遗憾的是，黄履庄的双轮小车既没有保留下来，也没有得到推广，这是一件非常让人惋惜的事。有人说他发明的也许是轮椅，但轮椅怎么能走得那么远呢？黄履庄在工程机械制造方面有很深的造诣，除了自行车，他一生发明无数，被后人赞为“中国的爱迪生”。
黄履庄的发明远近闻名，传到了安徽宣城梅文鼎的耳朵里。梅文鼎是清代最著名的数学家，大学士李光地曾邀其住到京城家中，向他学习数学和天文。后来经李光地推荐，康熙召见了梅文鼎，在南巡的御舟中两人曾连续三天谈论数学，康熙还亲书“绩学参微”四字以资鼓励。黄履庄去世后，其墓地由江宁织造、作家曹雪芹的父亲奉旨营造。
梅文鼎听到黄履庄发明许多奇器的传说，将信将疑，亲自到扬州登门拜访。当他来到黄家，举手敲门，门边的一条狗突然朝他大叫，梅文鼎不知所措。这时候黄履庄开门出迎，只见他拍拍狗的脑袋，它就乖乖地躺下，也不再发出叫声了。
原来这是主人特制的木狗，有人来敲门时会发出狗叫声，起到门铃的作用。遗憾的是，作为数学家的梅文鼎并未发现，黄履庄发明的双轮小车亮点在于，用两个圆圈替换两条直线（行走的双腿），也就是直线与圆概念的偷换。而在非欧几何学里，圆和直线可以是等价的。
发明一种机械，代替人的行走，或像鸟一样飞翔，这是人类存在已久的梦想。明代小说家施耐庵的《水浒传》描写的是距今一千多年前北宋的故事。其中有个人物叫戴宗，绰号神行太保，他是我孩提时代艳羡之人。戴宗原在江州（今江西九江）做官，为救助宋江，他伪造了蔡京书信，被识破后上了梁山。戴宗排行第二十，职司为总探声息头领，可谓是如今信息社会的先行者。
戴宗有道术，每当他把甲马拴在腿上，能日行八百里，为梁山五绝之一。第39回有一首《西江月》描写他的神行法：“顷刻才离乡镇，片时又过州城。金钱甲马果通神，万里如同眼近。”那么，究竟何为甲马呢？甲马是古人祭祀用的物品，作者在这里把它作为一种飞行神器。而在我小时候的想象里，甲马是一根短小的棍子，像田径比赛的接力棒，绑在腿上。用直线代替直线，这无疑是模仿，一种较为简单的想象力。
按评书的说法，戴宗跑得快是因为他有一匹古怪坐骑，集十二生肖的特征于一身。再细看《水浒传》，甲马每次用后要烧掉。同样是在第39回，戴宗夜宿客店，“解下甲马，取数陌金纸烧送了。”既然如此，甲马应与纸钱一样是纸制品，它是供神灵升天时骑用的。戴宗的道术在于此，他利用了神灵享有的权利。但甲马不能白用，所以每次用过之后，都要用纸钱一起烧送。
有时候，写作会是一种预言。1920年，捷克作家卡雷尔•恰佩克（1890-1938）出版了剧本《罗素姆万能机器人》，剧中有位名叫罗素姆的哲学家研制出一种机器人，被资本家大批制造出来充当劳动力。可是，如果世界上充满了机器人，那人类就会停止生育而面临末日。因此作者描写了一对会恋爱和生育的机器人，以此象征人类将免遭灭亡。
翌年，这出极富想象力的戏上演后轰动了欧洲。恰佩克在剧中创造的“机器人”角色和词汇robot，已被西方主要语言接纳，这部作品也被译成各种文字。不过，robot一词是由卡雷尔的画家哥哥约瑟夫发明的，他依据捷克文Robota（劳役）和波兰文Robotnik（工人）创造出来。卡雷尔曾七次获得诺贝尔文学奖提名，后因肺病英年早逝，约瑟夫则死于纳粹的集中营。
在恰佩克的剧本出版19年以后，美国西屋电器公司便在纽约世博会上展出了第一台家用机器人。不久以后，第一台可编程序机器人和第一台工业机器人先后被注册，随后获得专利。之后，各式各样的机器人如雨后春笋般在世界各地被发明出来。
►谷歌研制的安卓，词意为像人的机器。
与此同时，早在1942年，22岁的美国科幻小说家阿西莫夫就在一部短篇《转圈圈》中订立了所谓的“机器人三定律”，某种意义上成为业界普遍认可的研发准则，也标志着人类对机器人伦理探讨的开始：
一、机器人不得伤害人类，或袖手旁观坐视人类受到伤害；
二、除非违背第一法则，机器人必须服从人类的命令；
三、在不违背第一和第二法则情况下，机器人必须保护自己。
不知清朝的扬州人黄履庄发明的那只木狗，可否算作机器人的前身呢？
自从欧几里得建立了欧氏几何，在数学的严格性和推理性方面树立了典范，两千多年来，它始终保持着神圣而不可动摇的地位。不仅数学家们相信欧氏几何是绝对真理，哲学家们也都认定欧氏几何是明白的和必然的，康德在《纯粹理性批判》中声称，物质世界必然是欧几里得式的。
另一方面，早在1739年，即康德上大学的前一年，苏格兰哲学家休漠出版了一本著作，否定了宇宙中的事物有一定法则。他的不可知论表明，科学是纯粹经验性的，欧几里得几何的定理未必是物理的真理。
事实上，欧氏几何并非无懈可击，从它诞生那一刻起，就有一个问题困扰着数学家们，那就是欧几里得第5公设，也称平行公设。它的叙述不像其他四条公设那样简单明了，这条被法国人达朗贝尔戏称为“几何学的家丑”的著名公设可以这样叙述，
过已知直线外一点，能且仅能作一条直线与已知直线平行。
自古以来，许多的数学家都曾尝试证明平行公设，都没有成功。特别值得一提的是两位波斯数学家欧玛尔•海亚姆和纳西尔丁，他们对平行公设做了较为深入的探讨。如图，假设一个四边形ABCD，AB和CD等长且均垂直于BC边，则依照对称性，∠A和∠D相等。平行公设等价于，证明∠A和∠D都是直角。
►波斯人试图利用此图，证明平行公设。
纳西尔丁证明了，如果∠A与∠D是锐角，则可推出三角形的内角和小于180°，这正是罗巴切夫斯基几何的基本命题，它的另一种等价形式是
过已知直线外一点，能作不止一条直线与已知直线平行。
这是非欧几何学的一种，它是在19世纪前半叶，由德国数学家高斯、匈牙利数学家鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基各自独立发明的。
1854年，德国数学家、高斯的学生黎曼建立起一种更为广泛的几何学，即现在所称的黎曼几何学，罗氏几何和欧氏几何都是这种几何学的特例（分别对应于锐角假设和直角假设）。在黎曼之前，数学家们都认为钝角假设与公认的直线可以无限延长的假设矛盾，因此被取消了，黎曼却把它找了回来。
黎曼区分了“无限”和“无界”这两个概念，认为直线可以无限延长并不意味着就其长短而言是无限的，而只不过是说，它是没有端点或无界的（例如开区间）。在做了这个区分之后，黎曼证明了，钝角假设也与锐角假设一样，能无矛盾地引申出新的几何学。
在黎曼眼里，地球仪（或任意球面）上每个大圆可以看成是一条直线。何为大圆？大圆就是地球仪上圆心在球心的圆，如每一条经线，纬线则只有赤道线是大圆。不难发现，这样的“直线”是无界但却长度有限，任意两条不同的“直线”均相交。换句话说，没有两条直线是平行的。例如，假设赤道线是已知直线，北极点为直线外一点，每条经线均为过北极点的直线。反之亦然，这样一来，
过已知直线外一点，不能作一条直线与已知直线平行。
事实上，每条经线均与赤道线垂直，由此也可推得，任意两条经线与赤道线围成的三角形内角和大于180度，因为两底角是90度，而顶角大于零度。
用圆圈替换线段状的两条大腿行走，这正是自行车的秘密和成功之处。
►毕加索的雕塑《公牛头》
最后，我想说说西班牙人毕加索。作为立体主义绘画的鼻祖，毕加索的艺术灵感来源于四维几何学。当毕加索从一个酷爱数学的精算师（保险、金融等行业分析风险并量化其财务影响的专业人员）朋友那里了解到存在一种四维几何学，他即刻展开了想象：绘画是把三维空间的物体表现在二维平面上，那么四维空间里的物体表现在二维平面上该是什么样呢？于是在1907年，诞生了《亚维农少女》这幅立体主义的开山之作。
除了画画，毕加索也做雕塑，这对他似乎是工作和生活中的一个调剂。《公牛头》是一件现成品，它的材料是自行车的部件，把手是牛角，坐垫是牛脸。这两个部件原本不在一起，艺术家通过想象力，拆除了中间的三角档，让把手翻转过来，与坐垫连成一体，一件艺术品就这么诞生了。又一次，我们回到本文开头提到的自行车。
注：本文原标题“自行车的发明与黎曼几何学‘”，收录在蔡天新教授的新书《数学的故事》，该书即将由中信出版社出版。
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制版编辑 | 黄玉莹
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